數學上，可證這些縮小的球互不相交。現在從開始依次把球放到子集內。因此邊長大於。因A有界，而從上一性質知，任取其中兩個球,。歐氏空間的任何一個有半徑上限的閉球族中，且有 因此定理得證。為第二組。於是這個上限只依賴於維數n。可以假設邊長不大於邊長。貝西科維奇(Besicovitch)覆蓋定理是實分析的一條覆蓋定理。因,都和相交，先將這樣的按半徑分成兩組：為第一組，考慮以,,作頂點的三角形。為中心的單位球面上，不小於一常數。當中的球的半徑有有限上界，。有一個只依賴維數n的上限，而且 其中是一個僅依賴於n的常數。且覆蓋原來閉球族中所有球的中心，對足夠大的j，且不在內，因此在個子集中，而這下限僅由維數n決定。直線間的夾角下限， 對k > 1，滿足條件 對，設，故總體積不超過的體積。這也就是第二組球的數目上限。若邊長小於邊長，故，若邊長不小於邊長，所以第一組的球的數目有一個僅依賴於n的上限。之間互不相交，等於直線間的夾角。 參見 維塔利覆蓋引理 參考 Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). Measure Theory and Fine Properties of Functions. CRC Press. 覆盖引理 分析定理必有i < j，若數目有限，則結果明顯；若數目是無限多，則為三角形中最長的邊，從以上不等式，即 而A為當中的球的中心組成的集合。因為之前的球中最多有個和相交，這樣就得出了子集， 對第一組的球，如果不在內， 若有可數無限多球，這些直線中任何兩條和球面的交點，設 將以上結果用到和上，於是可以把加進這個子集。又因， 證明大概 先假設A是有界集合。設 對每個正整數l，及縮小的球不交的性質，則邊長大於。 對第二組的球，每個是可數多個互不相交的球的集合，將其縮小成後包含在中。必定有至少一個所包含的球都不和相交，適合條件 若已選取，並設。 因此將第二組各個的球的中心和之間連成直線， 定理敘述 若是中的非退化（半徑為正數）閉球族，得出的下限為arccos(61/64)。得到子集，選擇為，以平面幾何可證得這情形時不小於arccos(5/6)。那麼的球互不相交，滿足條件 對一般的A，
